Задание №3. Три отрезка, имеющие общую точку P, расположены так, как показано на рисунке. Известны величины двух отмеченных углов: ∠RPQ = 19°, ∠APC = 65°. Найдите величину угла SPQ.

Точки A, P, R лежат на одной прямой, поэтому углы APR и RPQ смежные.

∠APR = 180° − 19° = 161°.

Луч PB лежит внутри угла APR, а по рисунку ∠APC = ∠APB + ∠BPC; лучи PC и PS противоположны, как и лучи PA и PR. Удобнее использовать сумму углов на прямой: ∠APC + ∠CPR + ∠RPA = 360°. Тогда ∠CPR = 360° − 65° − 161° = 134°.

Луч PS противоположен PC, поэтому ∠SPQ и ∠CPR — смежные? По расположению ∠CPR = ∠CPB + ∠BPR, а искомый угол определяется как вертикальный к ∠BPC только при соответствующем луче. Из рисунка отметка ∠APC обозначает угол между PA и PC; лучи PA и PR противоположны, а PC и PS противоположны. Следовательно, ∠RPS = ∠APC = 65°, и ∠RPQ = ∠RPS + ∠SPQ.

∠SPQ = 19° − 65°? Это противоречит схеме, значит ∠RPS является развернутым дополнением к ∠APC: ∠RPS = 180° − 65° = 115°. Также ∠RPQ = 19° не может включать луч S по расположению. Используя горизонтальный луч PQ и диагональ PR: направление PS противоположно PC, а ∠APC=65° задаёт угол между PA и PC. При PA и PR противоположных направлениях получается ∠RPQ = 19°, и ∠SPQ = 180° − (65° + 19°) = 96°.

Ответ: 96°.