Задание 3. У правильного многоугольника четыре стороны, а радиус описанной около него окружности равен 6√2 см. Найдите: а) периметр многоугольника (14 баллов); б) площадь многоугольника (14 баллов); в) радиус вписанной окружности (14 баллов).

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. У нас есть правильный многоугольник, и мы знаем, что у него четыре стороны, а значит, это квадрат. Радиус описанной окружности равен \(6\sqrt{2}\) см.

Задание 3

Дано:

• Правильный многоугольник, 4 стороны (квадрат).
• Радиус описанной окружности \(R = 6\sqrt{2}\) см.

Найти:

• а) Периметр многоугольника (P)
• б) Площадь многоугольника (S)
• в) Радиус вписанной окружности (r)

Решение:

1. Находим сторону квадрата (a):

   В квадрате радиус описанной окружности связан со стороной формулой: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Отсюда мы можем выразить сторону \(a\):

   \(a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times 6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 6 = 12\) см.

2. а) Периметр многоугольника (P):

   Периметр квадрата равен произведению длины стороны на 4:

   \(P = 4a = 4 \times 12 = 48\) см.

3. б) Площадь многоугольника (S):

   Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

   \(S = a^2 = 12^2 = 144\) см².

4. в) Радиус вписанной окружности (r):

   В квадрате радиус вписанной окружности равен половине длины стороны:

   \(r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см.

Ответ:

• а) Периметр многоугольника: 48 см.
• б) Площадь многоугольника: 144 см².
• в) Радиус вписанной окружности: 6 см.