Задание №3. Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60°. Найдите диагонали трапеции, если AD = 16, BC = 12 и CD = 6.

Расположим трапецию так, чтобы основание AD было горизонтальным. Тогда высота трапеции равна проекции CD на перпендикуляр к основаниям: h = 6 sin 60° = 3√3. Проекция CD на основание равна 6 cos 60° = 3.

Пусть D = (0, 0). Тогда A = (16, 0), C = (3, 3√3), а поскольку BC = 12 и BC параллельно AD, B = (15, 3√3).

Для диагонали AC разности координат равны 13 и 3√3, поэтому AC = √(13² + (3√3)²) = √196 = 14.

Для диагонали BD разности координат равны 15 и 3√3, поэтому BD = √(15² + (3√3)²) = √252 = 6√7.

Ответ: AC = 14, BD = 6√7.