Задание 3. Упростить выражение

Решение:

a) \( 9^{\log_{2} 2 + \log_{2} \frac{1}{25}} + 2^{\log_{2} 7} \cdot \log_{9} \sqrt{81} \)

1. Упростим первый показатель степени: \( \log_{2} 2 + \log_{2} \frac{1}{25} = \log_{2} (2 \cdot \frac{1}{25}) = \log_{2} \frac{2}{25} \).
2. Теперь первая часть выражения: \( 9^{\log_{2} \frac{2}{25}} \). Это выражение сложно упростить без дополнительных данных или предположений о возможной ошибке в записи.
3. Упростим второй множитель: \( 2^{\log_{2} 7} = 7 \) (по свойству \( a^{\log_{a} b} = b \)).
4. Упростим \( \log_{9} \sqrt{81} \): \( \log_{9} 9 = 1 \).
5. Тогда вторая часть выражения: \( 7 \cdot 1 = 7 \).
6. Собираем всё вместе: \( 9^{\log_{2} \frac{2}{25}} + 7 \).
7. Если предположить, что в задании была ошибка и вместо \( \log_{2} \frac{1}{25} \) было \( \log_{9} \frac{1}{25} \) или \( \log_{3} \frac{1}{25} \), или \( 2 \log_{3} \frac{1}{5} \), то решение будет другим.
8. Рассмотрим вариант, где \( \log_{2} \frac{1}{25} \) является ошибкой и должно быть \( \log_{3} \frac{1}{25} \) или \( \log_{9} 25 \).
9. Если \( 9^{\log_{3} \frac{1}{25}} \): \( (3^2)^{\log_{3} \frac{1}{25}} = 3^{2 \log_{3} \frac{1}{25}} = 3^{\log_{3} (\frac{1}{25})^2} = (\frac{1}{25})^2 = \frac{1}{625} \).
10. Тогда: \( \frac{1}{625} + 7 \).
11. Если предположить, что \( 9^{\log_{2} 2 + \log_{2} \frac{1}{25}} \) это \( 9^{\log_{2} (2 \times \frac{1}{25})} \) и \( 9 \) является \( 3^2 \) и \( \log_{2} \) является \( \log_{3} \): \( (3^2)^{\log_{3} (2 \times \frac{1}{25})} = 3^{2 \log_{3} \frac{2}{25}} = 3^{\log_{3} (\frac{2}{25})^2} = (\frac{2}{25})^2 = \frac{4}{625} \).
12. Если предположить, что \( 9^{\log_{2} \frac{1}{25}} \) должно быть \( 25^{\log_{9} 2} \) и \( 9 \) это \( 3^2 \) и \( \log_{2} \frac{1}{25} \) это \( 2 \log_{3} 5 \).
13. Давайте вернемся к оригинальному виду: \( 9^{\log_{2} 2 + \log_{2} \frac{1}{25}} + 2^{\log_{2} 7} \cdot \log_{9} \sqrt{81} \)
14. \( 2^{\log_{2} 7} = 7 \)
15. \( \log_{9} \sqrt{81} = \log_{9} 9 = 1 \)
16. \( 7 \cdot 1 = 7 \)
17. \( 9^{\log_{2} 2 + \log_{2} \frac{1}{25}} = 9^{1 + \log_{2} \frac{1}{25}} \)
18. Данное выражение \( 9^{\log_{2} \frac{2}{25}} \) нельзя упростить дальше без дополнительных предположений.
19. Возможно, в задании ошибка и \( \log_{2} \) должно быть \( \log_{3} \) или \( \log_{9} \).
20. Если \( 9^{\log_{3} 2 + \log_{3} \frac{1}{25}} \) : \( 9^{\log_{3} \frac{2}{25}} = (3^2)^{\log_{3} \frac{2}{25}} = 3^{2 \log_{3} \frac{2}{25}} = 3^{\log_{3} (\frac{2}{25})^2} = (\frac{2}{25})^2 = \frac{4}{625} \).
21. Тогда: \( \frac{4}{625} + 7 \).

Ответ: \( \frac{4}{625} + 7 \) (при условии, что \( \log_{2} \) в показателе степени \( 9 \) является \( \log_{3} \)). Если \( \log_{2} \) является верным, то \( 9^{\log_{2} \frac{2}{25}} + 7 \).