Задание 3. Упростить выражение (tg α - sin α) * (cos² α / sin α + ctg α).

Решение:

Упростим выражение по шагам:

1. Представим \( \text{tg}\alpha \) и \( \text{ctg}\alpha \) через \( \sin\alpha \) и \( \cos\alpha \):
• \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)
• \( \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \)
2. Подставим в исходное выражение:
• \( \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha\right) \cdot \left(\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \)
3. Вынесем общие множители в каждой скобке:
• \( \sin\alpha \left(\frac{1}{\cos\alpha} - 1\right) \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \left(\cos\alpha + 1\right) \)
4. Упростим дроби и сократим \( \sin\alpha \):
• \( \sin\alpha \cdot \frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot (1 + \cos\alpha) \)
• \( \frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha) \)
• \( (1 - \cos\alpha) \cdot (1 + \cos\alpha) \)
5. Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
• \( 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \)
6. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \), откуда \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \).

Ответ: \( \sin^2\alpha \).