Задание 3. Упростить выражение a) 9^{log_2 2 + log_5 \(\frac{1}{25}\)} + 2^{log_2 7} \(\log\)_9 \(\sqrt[3]{81}\) b) \(\left\)\(\frac{\log_{100} a}{\lg a} \cdot \frac{\log_{100} b}{\lg b} \right\)^{2 \(\log\)_{ab}(a+b)}

Решение:

а)

Упростим степень при девятке:

\( \log_2 2 + \log_5 \frac{1}{25} = 1 + \log_5 5^{-2} = 1 - 2 = -1 \)

Упростим второе слагаемое:

\( 2^{\log_2 7} = 7 \)

\( \log_9 \sqrt[3]{81} = \log_{3^2} 3^{4/3} = \frac{4/3}{2} \log_3 3 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Теперь подставим упрощённые значения:

\( 9^{-1} + 7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{14}{3} = \frac{1}{9} + \frac{42}{9} = \frac{43}{9} \)

б)

Используем формулу смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

\( \frac{\log_{100} a}{\lg a} = \frac{\frac{\lg a}{\lg 100}}{\lg a} = \frac{1}{\lg 100} = \frac{1}{2} \)

Аналогично,

\( \frac{\log_{100} b}{\lg b} = \frac{1}{2} \)

Теперь выражение в скобках равно:

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

Исходное выражение принимает вид:

\( \left( \frac{1}{4} \right)^{2 \log_{ab}(a+b)} = \left( 4^{-1} \right)^{2 \log_{ab}(a+b)} = 4^{-2 \log_{ab}(a+b)} \)

Или

\( \left( \frac{1}{2^2} \right)^{2 \log_{ab}(a+b)} = \left( 2^{-2} \right)^{2 \log_{ab}(a+b)} = 2^{-4 \log_{ab}(a+b)} \)

Ответ: а) \( \frac{43}{9} \); б) \( 4^{-2 \log_{ab}(a+b)} \) или \( 2^{-4 \log_{ab}(a+b)} \).