Задание 3. Упростить выражение a) \(9^{\log_{9} 2 + \log_{9} \frac{1}{25}} + 2^{\log_{2} 7}\) b) \(\left(b^{\frac{\log_{100} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{100} b}{\lg b}}\right) \cdot 2 \log_{ab} (a+b)\)

Задание 3. Упростить выражение

а) \(9^{\log_{9} 2 + \log_{9} \frac{1}{25}} + 2^{\log_{2} 7}\)

1. Используем свойство логарифмов \( \log_c a + \log_c b = \log_c (ab) \) и \( c^{\log_c a} = a \).
2. \( 9^{\log_{9} 2 + \log_{9} \frac{1}{25}} = 9^{\log_{9} (2 \cdot \frac{1}{25})} = 9^{\log_{9} \frac{2}{25}} = \frac{2}{25} \).
3. \( 2^{\log_{2} 7} = 7 \).
4. Сложим полученные значения: \( \frac{2}{25} + 7 = \frac{2}{25} + \frac{175}{25} = \frac{177}{25} \).

б) \(\left(b^{\frac{\log_{100} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{100} b}{\lg b}}\right) \cdot 2 \log_{ab} (a+b)\)

1. Воспользуемся формулой смены основания логарифма \( \log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x} \), где \( \lg a = \log_{10} a \).
2. \( \frac{\log_{100} a}{\lg a} = \frac{\log_{100} a}{\log_{10} a} \). Используем смену основания: \( \frac{\log_{10} a}{\log_{10} 100 \cdot \log_{10} a} = \frac{1}{\log_{10} 100} = \frac{1}{2} \).
3. Аналогично, \( \frac{\log_{100} b}{\lg b} = \frac{1}{2} \).
4. Тогда выражение в скобках равно: \( b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{ab} \).
5. Исходное выражение принимает вид: \( \sqrt{ab} \cdot 2 \log_{ab} (a+b) \).
6. Преобразуем \( \sqrt{ab} \) в \( (ab)^{\frac{1}{2}} \).
7. \( (ab)^{\frac{1}{2}} \cdot 2 \log_{ab} (a+b) = 2 \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\log_{10} (a+b)}{\log_{10} (ab)} \).
8. Эта часть выражения не упрощается далее без дополнительных условий.

Ответ: а) \(\frac{177}{25}\); б) \(\sqrt{ab} \cdot 2 \log_{ab} (a+b)\).