Задание 3. Упростить выражение a) \(\frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a^{\frac{4}{3}} - \sqrt[3]{a^2b^2} + b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\) б) \(2 \cdot \sqrt[4]{\frac{x^9}{y^4z^3}} : \sqrt[4]{\frac{x^5}{y^{12}z^3}}\)

Задание 3. Упростить выражение

1. а)
   

   Воспользуемся формулой разности кубов \( A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \) и формулой суммы кубов \( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \). Приведем выражения к кубам:

   
   

   \( a^{\frac{4}{3}} = a \cdot a^{\frac{1}{3}} = (\sqrt[3]{a})^4 \), \( b^{\frac{4}{3}} = b \cdot b^{\frac{1}{3}} = (\sqrt[3]{b})^4 \).

   
   

   Тогда \( a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^4 - (b^{\frac{1}{3}})^4 = (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})\).

   
   

   Первая дробь:

   
   

   \(\frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})\).

   
   

   Вторая дробь:

   
   

   \( a^{\frac{4}{3}} - \sqrt[3]{a^2b^2} + b^{\frac{4}{3}} = a \cdot a^{\frac{1}{3}} - (ab)^{\frac{2}{3}} + b \cdot b^{\frac{1}{3}} \). Эта часть выражения не упрощается так же легко. Пересмотрим условие.

   
   

   Повторное рассмотрение:
   Пусть \( x = \sqrt[3]{a} \) и \( y = \sqrt[3]{b} \). Тогда \( a^{\frac{4}{3}} = x^4 \) и \( b^{\frac{4}{3}} = y^4 \). Условие приводится к виду:

   
   

   \(\frac{x^4 - y^4}{x - y} \cdot \frac{x^4 - (xy)^2 + y^4}{x + y}\).

   
   

   \(\frac{x^4 - y^4}{x - y} = \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)\).

   
   

   Теперь умножаем:

   
   

   \( (x+y)(x^2+y^2) \cdot \frac{x^4 - x^2y^2 + y^4}{x + y} = (x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) \).

   
   

   Воспользуемся формулой \( A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2) \). Здесь \( A = x^2 \) и \( B = y^2 \). Тогда \( A^2 = x^4 \), \( AB = x^2y^2 \), \( B^2 = y^4 \).

   
   

   Следовательно, \( (x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) = (x^2)^3 + (y^2)^3 = x^6 + y^6 \).

   
   

   Возвращаясь к \( a \) и \( b \): \( x^6 = (a^{\frac{1}{3}})^6 = a^2 \) и \( y^6 = (b^{\frac{1}{3}})^6 = b^2 \).

   
   

   Итоговый результат: \( a^2 + b^2 \).

   
   
2. б)
   

   Преобразуем выражение:

   
   

   \(2 \cdot \sqrt[4]{\frac{x^9}{y^4z^3}} : \sqrt[4]{\frac{x^5}{y^{12}z^3}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[4]{x^9}}{\sqrt[4]{y^4z^3}} \cdot \frac{\sqrt[4]{y^{12}z^3}}{\sqrt[4]{x^5}}\)

   
   

   \( = 2 \cdot \sqrt[4]{\frac{x^9 \cdot y^{12}z^3}{y^4z^3 \cdot x^5}} = 2 \cdot \sqrt[4]{\frac{x^9 y^{12}z^3}{x^5 y^4z^3}}\)

   
   

   Сократим степени:

   
   

   \( = 2 \cdot \sqrt[4]{x^{9-5} y^{12-4} z^{3-3}} = 2 \cdot \sqrt[4]{x^4 y^8 z^0}\)

   
   

   \( = 2 \cdot \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{y^8} \cdot \sqrt[4]{1} \)

   
   

   \( = 2 \cdot x \cdot y^2 \)

Ответ: а) a² + b²; б) 2xy².