Задание 3. Упростить выражения. а) \(\frac{a^{\frac{4}{3}}-b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a^{\frac{4}{3}}-\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}+b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\)

Решение:

Для пункта а) используем формулы разности кубов \( x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) \) и сумму кубов \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) \), а также свойства степеней.

Пусть \( x = \sqrt[3]{a} \) и \( y = \sqrt[3]{b} \). Тогда \( a = x^3 \) и \( b = y^3 \).

Выражение \( a^{\frac{4}{3}} \) можно записать как \( a \cdot a^{\frac{1}{3}} = x^3 \cdot x = x^4 \), и \( b^{\frac{4}{3}} \) как \( b \cdot b^{\frac{1}{3}} = y^3 \cdot y = y^4 \).

Также \( \sqrt[3]{a^2 b^2} = (a^2 b^2)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 (b^{\frac{1}{3}})^2 = x^2 y^2 \).

Перепишем дробь:

\( \frac{a^{\frac{4}{3}}-b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{x^4 - y^4}{x-y} = \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 \).

\( \frac{a^{\frac{4}{3}}-\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}+b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{x^4 - x^2y^2 + y^4}{x+y} \).

Заметим, что \( x^4 - x^2y^2 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 3x^2y^2 \) — это не разлагается легко.

Рассмотрим числитель второй дроби: \( a^{\frac{4}{3}}-\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}+b^{\frac{4}{3}} \). Если \( a = x^3, b = y^3 \), то \( x^4 - x^2y^2 + y^4 \). Это похоже на формулу суммы кубов, но не совсем.

Проверим, если \( a^{1/3} = u \) и \( b^{1/3} = v \), то \( a^{4/3} = u^4 \), \( b^{4/3} = v^4 \), \( \sqrt[3]{a^2b^2} = u^2v^2 \).

Первая дробь: \( \frac{u^4 - v^4}{u-v} = \frac{(u^2-v^2)(u^2+v^2)}{u-v} = \frac{(u-v)(u+v)(u^2+v^2)}{u-v} = (u+v)(u^2+v^2) = u^3 + uv^2 + u^2v + v^3 \).

Вторая дробь: \( \frac{u^4 - u^2v^2 + v^4}{u+v} \).

Суммируем: \( (u^3 + uv^2 + u^2v + v^3) \cdot \frac{u^4 - u^2v^2 + v^4}{u+v} \).

Рассмотрим \( u^4 - u^2v^2 + v^4 = (u^2+v^2)^2 - 2u^2v^2 - u^2v^2 = (u^2+v^2)^2 - 3u^2v^2 \).

Если \( u^2 - uv + v^2 \) и \( u^2 + uv + v^2 \) — множители \( u^4 + u^2v^2 + v^4 \), то \( u^4 - u^2v^2 + v^4 \) не раскладывается так просто.

Попробуем иначе. Заметим, что \( (u+v)(u^2-uv+v^2) = u^3+v^3 \) и \( (u-v)(u^2+uv+v^2) = u^3-v^3 \).

У нас в первой дроби числитель \( a^{4/3} - b^{4/3} = (a^{1/3})^4 - (b^{1/3})^4 = (a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3})(a^{2/3}+b^{2/3}) \).

Знаменатель первой дроби: \( a^{1/3} - b^{1/3} \).

Первая дробь равна: \( (a^{1/3}+b^{1/3})(a^{2/3}+b^{2/3}) \).

Теперь вторая дробь. Числитель: \( a^{4/3} - a^{2/3}b^{2/3} + b^{4/3} \).

Знаменатель второй дроби: \( a^{1/3} + b^{1/3} \).

Произведение равно:

\( (a^{1/3}+b^{1/3})(a^{2/3}+b^{2/3}) \cdot \frac{a^{4/3} - a^{2/3}b^{2/3} + b^{4/3}}{a^{1/3}+b^{1/3}} \).

Сокращаем \( (a^{1/3}+b^{1/3}) \).

Остается: \( (a^{2/3}+b^{2/3})(a^{4/3} - a^{2/3}b^{2/3} + b^{4/3}) \).

Рассмотрим \( (X+Y)(X^2-XY+Y^2) = X^3+Y^3 \).

Пусть \( X = a^{2/3} \) и \( Y = b^{2/3} \).

Тогда \( X^2 = (a^{2/3})^2 = a^{4/3} \) и \( Y^2 = (b^{2/3})^2 = b^{4/3} \).

И \( XY = a^{2/3}b^{2/3} \).

Таким образом, \( (a^{2/3}+b^{2/3})(a^{4/3} - a^{2/3}b^{2/3} + b^{4/3}) = (a^{2/3})^3 + (b^{2/3})^3 = a^2 + b^2 \).

Ответ: \( a^2 + b^2 \).