Задание 3. Упростите выражение: \(\left(\frac{1}{8b}+\frac{1}{a}\right):\frac{(8b+a)^3}{2}+\frac{1}{64b^2+a^2+16ab}\cdot\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{64b^2}\right)\). Выберите верное утверждение: значение выражения положительно при всех допустимых значениях \(a\) и \(b\); значение выражения отрицательно при всех допустимых значениях \(a\) и \(b\); значение выражения может быть как положительно, так и отрицательно.

Область допустимых значений: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+8b\ne0\).

1. Преобразуем первую скобку: \(\frac{1}{8b}+\frac{1}{a}=\frac{a+8b}{8ab}\). Тогда \(\left(\frac{1}{8b}+\frac{1}{a}\right):\frac{(8b+a)^3}{2}=\frac{1}{4ab(a+8b)^2}\).
2. Так как \(64b^2+a^2+16ab=(a+8b)^2\), а \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{64b^2}=\frac{a^2+64b^2}{64a^2b^2}\), второе слагаемое равно \(\frac{a^2+64b^2}{64a^2b^2(a+8b)^2}\).
3. Складываем слагаемые: \(\frac{16ab+a^2+64b^2}{64a^2b^2(a+8b)^2}=\frac{(a+8b)^2}{64a^2b^2(a+8b)^2}=\frac{1}{64a^2b^2}\).

При допустимых значениях \(a\) и \(b\) знаменатель \(64a^2b^2\) положителен, следовательно, выражение всегда положительно.

Ответ: верно первое утверждение.