Задание 3 (уровень средний, 5-6 баллов). Решите уравнение √3x² - 3x + 21 = x - 5.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ.
• Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 3x^2 - 3x + 21 \geq 0 \). Дискриминант этого квадратного трехчлена \( D = (-3)^2 - 4 2 3 2 21 = 9 - 252 = -243 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) (3) положительный, то \( 3x^2 - 3x + 21 \) всегда больше нуля для любого \( x \).
• Правая часть уравнения должна быть неотрицательной (так как она равна квадратному корню): \( x - 5 \geq 0 \) \( \implies x \geq 5 \).
• Таким образом, ОДЗ: \( x \geq 5 \).
• Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат:
• \( (\sqrt{3x^2 - 3x + 21})^2 = (x - 5)^2 \)
• \( 3x^2 - 3x + 21 = x^2 - 10x + 25 \)
• Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону и решаем полученное квадратное уравнение:
• \( 3x^2 - x^2 - 3x + 10x + 21 - 25 = 0 \)
• \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \)
• Находим дискриминант: \( D = 7^2 - 4 2 2 2 (-4) = 49 + 32 = 81 \)
• \( \sqrt{D} = 9 \)
• Находим корни:
• \( x_1 = \frac{-7 + 9}{2 2 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
• \( x_2 = \frac{-7 - 9}{2 2 2} = \frac{-16}{4} = -4 \)
• Шаг 4: Проверяем полученные корни на соответствие ОДЗ (\( x \geq 5 \)).
• \( x_1 = 0.5 \) не удовлетворяет условию \( x \geq 5 \).
• \( x_2 = -4 \) не удовлетворяет условию \( x \geq 5 \).

Ответ: Нет корней