Задание № 3. В параллелограмме ABCD точка E делит сторону AD в отношении 2 : 1, а F — середина AB. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразите векторы \(\overrightarrow{FD}\) и \(\overrightarrow{EC}\) через \(\vec a\) и \(\vec b\).

Пусть отношение задано в порядке \(AE:ED=2:1\). Тогда \(\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\vec b\), а поскольку F — середина AB, \(\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\vec a\).

1. Для нахождения \(\overrightarrow{FD}\) пройдём от F к D через A:

\[\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\vec a+\vec b.\]

2. В параллелограмме \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\). Поэтому:

\[\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{3}\vec b+(\vec a+\vec b)=\vec a+\frac{1}{3}\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{FD}=-\frac{1}{2}\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{EC}=\vec a+\frac{1}{3}\vec b\).