Задание № 3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медиана AD и биссектриса CE перпендикулярны. Найдите величину угла ADB.

Обозначим \(\angle ABC=2\alpha\), а \(AB=BC=1\). Тогда по теореме косинусов для основания \(AC\):

\(AC=2\sin\alpha\).

Направление биссектрисы \(CE\) складывается из единичных направлений \(CB\) и \(CA\). Условие \(AD\perp CE\), применённое к этим направлениям, даёт

\(\cos 2\alpha-\frac12+\frac{3(\cos 2\alpha-1)}{2AC}=0\).

Подставим \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) и \(AC=2\sin\alpha\). При \(x=\sin\alpha>0\) получаем \(4x^2+3x-1=0\), откуда \(x=\frac14\). Следовательно, \(\cos 2\alpha=\frac78\).

Так как \(D\) — середина \(BC\), то \(BD=\frac12\). В треугольнике \(ABD\) по теореме косинусов:

\(AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos\angle ABD=\frac54-\frac78=\frac38\).

Медиана делит сторону \(BC\) пополам, поэтому \(\angle ABD=\angle ABC\). Ещё раз применим теорему косинусов:

\(\cos\angle ADB=\frac{AD^2+BD^2-AB^2}{2\cdot AD\cdot BD}=\frac{\frac38+\frac14-1}{\sqrt{\frac38}}=-\frac{\sqrt6}{4}\).

Ответ: \(\angle ADB=\arccos\left(-\frac{\sqrt6}{4}\right)\approx127.8^\circ\).