Задание №3. В треугольнике ABC: BC = a, ∠C = γ и ∠B = β. Выразите биссектрисы l_C и l_B через γ, β и a.

Обозначим точку пересечения биссектрисы из C со стороной AB через D. В треугольнике BCD: ∠BCD = γ/2, ∠CBD = β, а BC = a. Тогда ∠CDB = 180° − β − γ/2.

По теореме синусов:

\(\dfrac{l_C}{\sin\beta}=\dfrac{a}{\sin(180°-\beta-\gamma/2)}\), поэтому \(l_C=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma/2)}\).

Обозначим точку пересечения биссектрисы из B со стороной AC через E. В треугольнике BCE: ∠CBE = β/2, ∠BCE = γ, а BC = a. Тогда ∠BEC = 180° − γ − β/2.

По теореме синусов:

\(\dfrac{l_B}{\sin\gamma}=\dfrac{a}{\sin(180°-\gamma-\beta/2)}\), поэтому \(l_B=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta/2)}\).

Ответ: \(l_C=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma/2)}\), \(l_B=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta/2)}\).