ЗАДАНИЕ №3. В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D. На рисунке отмечены три равных угла. Известны длины отрезков: BD = 10 см и BC = 14 см. Найдите периметр треугольника ABC. PABC = ___ см.

Три отмеченных угла равны. Поэтому в треугольнике ABD равны углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABD\), значит, равны и противолежащие стороны:

\(AD=BD=10\) см.

Так как угол \(ADB\) равен \(60^\circ\), смежный с ним угол \(BDC\) равен \(120^\circ\).

Обозначим \(DC=x\). По теореме косинусов для треугольника BDC:

\(BC^2=BD^2+DC^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot\cos120^\circ\).

\(14^2=10^2+x^2-2\cdot10\cdot x\cdot\left(-\frac12\right)\).

\(196=100+x^2+10x\),

\(x^2+10x-96=0\).

Положительный корень: \(x=6\), поэтому \(DC=6\) см.

Тогда \(AC=AD+DC=10+6=16\) см.

Периметр:

\(P_{ABC}=AB+BC+AC=10+14+16=40\) см.

Ответ: 40 см.