Задание №3. В треугольнике ABC с углом величиной 60° при вершине A середины сторон AB и BC соединены отрезками с точкой F на третьей стороне. Отрезок AF равен половине стороны AB. Известны длины трёх отрезков с концом F: FC = 23, FD = 7, FE = 13. Найдите периметр треугольника ABC.

Так как D — середина AB, то AD = AB/2. По условию AF = AB/2, следовательно, AD = AF.

Угол DAF равен углу A, то есть 60°. Поэтому треугольник ADF равносторонний: AD = AF = DF = 7.

Отсюда AB = AD + DB = 7 + 7 = 14, а AC = AF + FC = 7 + 23 = 30.

По теореме косинусов для угла A:

BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos 60° = 14² + 30² − 2 · 14 · 30 · 1/2 = 256, поэтому BC = 16.

Периметр: P_ABC = 14 + 30 + 16 = 60.

Однако указанные данные FE = 13 не согласуются с остальными условиями. Если E — середина BC, то найденные стороны и угол A задают треугольник, в котором FE не равно 13. Вероятно, в условии есть опечатка; вычисление периметра выше использует остальные данные.

Ответ: 60.