Задание № 3. Вершину A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок AQ — биссектриса треугольника APS. 2) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABQ. 3) Отрезок AS — биссектриса треугольника APC. 4) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABC. 5) Отрезок AQ — биссектриса треугольника ABC.

Обозначим четыре равных угла по порядку от луча AB до луча AC: ∠BAP, ∠PAQ, ∠QAS и ∠SAC.

1) В треугольнике APS углы при A — ∠PAQ и ∠QAS. Они равны, поэтому AQ — биссектриса. Утверждение верно.

2) В треугольнике ABQ луч AP делит угол BÂQ на углы ∠BAP и ∠PAQ. Они равны, поэтому AP — биссектриса. Утверждение верно.

3) В треугольнике APC луч AS не является биссектрисой угла PAC: он делит его на ∠QAS и ∠SAC, но вершина треугольника — A, а лучи AC и AP; угол PAC состоит из трёх равных частей, и AS проходит не по его середине. Утверждение неверно.

4) В треугольнике ABC луч AP делит угол BAC на ∠BAP и ∠PAC. Второй угол состоит из трёх равных частей, а первый — из одной, поэтому AP не биссектриса. Утверждение неверно.

5) В треугольнике ABC луч AQ делит угол BAC на ∠BAQ и ∠QAC. Каждый из них состоит из двух равных частей, следовательно, AQ — биссектриса. Утверждение верно.

Ответ: верны утверждения 1, 2 и 5.