Решение:
Чтобы понять, является ли НЕ частицей, нужно проверить, можно ли его убрать из предложения или заменить на синоним без 'не'. Если можно — это частица. Если слово без НЕ не существует или теряет смысл, то НЕ — приставка.
- (не)доумевающий взгляд — НЕ является приставкой, слово 'доумевающий' без НЕ не употребляется.
- ей стало (не)(по)себе — Здесь НЕ является приставкой, так как слово 'посебе' является частью устойчивого выражения.
- смотрел (не)сводя глаз — Здесь НЕ является частицей, так как это деепричастие. Можно заменить на 'неотрывно'.
- (не)возмутимое поведение — НЕ является приставкой, слово 'возмутимое' без НЕ не употребляется.
- (не)поколебимый — НЕ является приставкой, так как слово 'поколебимый' без НЕ не употребляется.
- (не)увядаемый цветок — НЕ является приставкой, так как слово 'увядаемый' без НЕ не употребляется.
Ответ: смотрел (не)сводя глаз