Задание 3: Вычислить математическое ожидание суммы M(X + Y) и произведения M(X·Y); сумму D(X + Y) и разность D(X − Y) дисперсий X и Y, а также найти их квадратическое отклонение σ(X) и σ(Y). Вариант 1: X — значения 2, 3, 4; P — 0,2; 0,5; 0,3. Y — значения 1, 3, 7; P — 0,3; 0,1; 0,6. Вариант 2: X — значения 1, 5, 4; P — 0,2; 0,5; 0,3. Y — значения 2, 3, 4; P — 0,1; 0,5; 0,3. Вариант 3: X — значения 3, 6, 7; P — 0,3; 0,7; 0,9. Y — значения 1, 6, 9; P — 0,1; 0,3; 0,8. Вариант 4: X — значения 2, 7, 8; P — 0,1; 0,2; 0,3. Y — значения 1, 8, 9; P — 0,2; 0,2; 0,3.

Для варианта 1 суммы вероятностей равны 1 для обоих распределений. Предположим, что X и Y независимы: без этого предположения их совместное распределение не задано, поэтому M(X·Y) и дисперсии суммы и разности нельзя определить только по таблицам.

Сначала найдём математические ожидания и дисперсии отдельных величин:

\(M(X)=2\cdot0,2+3\cdot0,5+4\cdot0,3=3,1\).

\(M(X^2)=2^2\cdot0,2+3^2\cdot0,5+4^2\cdot0,3=10,1\), поэтому \(D(X)=M(X^2)-M(X)^2=10,1-3,1^2=0,49\), а \(\sigma(X)=\sqrt{0,49}=0,7\).

\(M(Y)=1\cdot0,3+3\cdot0,1+7\cdot0,6=4,8\).

\(M(Y^2)=1^2\cdot0,3+3^2\cdot0,1+7^2\cdot0,6=30,6\), поэтому \(D(Y)=M(Y^2)-M(Y)^2=30,6-4,8^2=7,56\), а \(\sigma(Y)=\sqrt{7,56}=\dfrac{3\sqrt{21}}{5}\approx2,75\).

Для независимых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий:

\(M(X+Y)=3,1+4,8=7,9\).

\(M(X\cdot Y)=3,1\cdot4,8=14,88\).

При независимости дисперсия суммы и разности равна сумме дисперсий:

\(D(X+Y)=0,49+7,56=8,05\).

\(D(X-Y)=0,49+7,56=8,05\).

Ответ для варианта 1 (при независимости X и Y): M(X + Y) = 7,9; M(X·Y) = 14,88; D(X + Y) = 8,05; D(X − Y) = 8,05; σ(X) = 0,7; σ(Y) = 3√21/5 ≈ 2,75.

В вариантах 2–4 данные о вероятностях не образуют распределений: сумма вероятностей Y в варианте 2 равна 0,9; в варианте 3 суммы равны 1,9 для X и 1,2 для Y; в варианте 4 — 0,6 для X и 0,7 для Y. Поэтому выполнить расчёты для этих вариантов как для случайных величин по указанным таблицам нельзя. Нужны исправленные вероятности. Кроме того, для вычисления M(X·Y) и дисперсий суммы и разности необходимо указать, что X и Y независимы, либо предоставить их совместное распределение.