Задание 3. Выделите полный квадрат в выражении 64a² – 96a + 49.

Решение:

Чтобы выделить полный квадрат в выражении \( 64a^2 - 96a + 49 \), нужно привести его к виду \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) или \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

1. Первый член \( 64a^2 \) является квадратом \( (8a)^2 \).
2. Последний член \( 49 \) является квадратом \( 7^2 \).
3. Проверим средний член: \( 2 \cdot 8a \cdot 7 = 112a \). В данном выражении средний член \( -96a \).
4. Однако, если мы рассмотрим \( (8a - 7)^2 \), то получим \( (8a)^2 - 2 \cdot 8a \cdot 7 + 7^2 = 64a^2 - 112a + 49 \).
5. Если мы рассмотрим \( (8a + 7)^2 \), то получим \( (8a)^2 + 2 \cdot 8a \cdot 7 + 7^2 = 64a^2 + 112a + 49 \).
6. В задании дан выражение \( 64a^2 - 96a + 49 \). Здесь \( 96a \) не соответствует удвоенному произведению \( 8a \) и \( 7 \).
7. Перепишем выражение: \( 64a^2 - 96a + 49 = (8a)^2 - 2 \cdot 8a \cdot 6 + 36 + 13 \). Это не полный квадрат.
8. Проверим, является ли выражение полным квадратом: \( 64a^2 - 96a + 49 \). \(
   (8a)^2 = 64a^2 \), \( 7^2 = 49 \). \( 2 \times 8a \times 7 = 112a \). Так как \( 96a \neq 112a \), то данное выражение не является полным квадратом вида \( (x – y)^2 \).
9. Возможно, имелось в виду другое выражение, или задача предполагает другой подход. Если же строго следовать условию, то точное выделение полного квадрата невозможно без остатка.
10. Однако, если попробовать подобрать корни, то \( (8a-x)^2 = 64a^2 - 16ax + x^2 \).
11. Если предположить, что \( x=7 \), то \( (8a-7)^2 = 64a^2 - 112a + 49 \).
12. Если предположить, что \( x=\frac{96}{2 \times 8} = 6 \), то \( (8a-6)^2 = 64a^2 - 96a + 36 \).
13. В таком случае, \( 64a^2 - 96a + 49 = (8a-6)^2 - 36 + 49 = (8a-6)^2 + 13 \).
14. Это означает, что выражение \( 64a^2 - 96a + 49 \) не является полным квадратом.

Ответ: Выражение \( 64a^2 - 96a + 49 \) не является полным квадратом. Оно может быть представлено как \( (8a-6)^2 + 13 \).