Задание 30. Представьте выражение в виде степени: 1) 3⁵ · 9; 2) 4⁶ · 8 : 16⁸; 3) 8 · 32 · 64; 4) (2⁸)³ · (3¹²)²; 5) 10000 : 100 · 1000; 6) (156⁴)³ : (312²)⁶.

Используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, а при возведении степени в степень показатели перемножаются.

1. Так как 9 = 3², получаем: \(3^5 \cdot 9 = 3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7\).

2. Представим числа как степени двойки: \(4^6 \cdot 8 : 16^8 = (2^2)^6 \cdot 2^3 : (2^4)^8 = 2^{12+3-32} = 2^{-17}\).

3. Представим множители как степени двойки: \(8 \cdot 32 \cdot 64 = 2^3 \cdot 2^5 \cdot 2^6 = 2^{3+5+6} = 2^{14}\).

4. Применим правило возведения степени в степень: \((2^8)^3 \cdot (3^{12})^2 = 2^{24} \cdot 3^{24} = (2 \cdot 3)^{24} = 6^{24}\).

5. Умножение и деление выполняем слева направо. Представим числа как степени десяти: \(10000 : 100 \cdot 1000 = 10^4 : 10^2 \cdot 10^3 = 10^{4-2+3} = 10^5\).

6. Сначала применим правило степени степени, затем используем \(312 = 2 \cdot 156\): \((156^4)^3 : (312^2)^6 = 156^{12} : 312^{12} = (156 : 312)^{12} = (1/2)^{12} = 2^{-12}\).