Задание 30. Зная координаты вершин треугольника ABC, определите вид этого треугольника: а) равнобедренный; б) не равнобедренный. 1) A(2; 1), B(5; 10), C(8; 1) — образец. 2) A(−3; 4), B(4; 1), C(4; 7). 3) A(3; 1), B(4; 6), C(7; 1). 4) A(−4; 3), B(1; 1), C(−4; 4). 5) A(3; −3), B(1; 6), C(7; −1). 6) A(−2; −9), B(−6; −1), C(−10; −8). 7) A(−2; −5), B(0; 0), C(7; −3). 8) A(0; 2), B(1; 7), C(−7; 6).

Сравним квадраты длин сторон: равенство квадратов означает равенство самих длин. Для точек с координатами \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\) квадрат расстояния равен \((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\).

1. \(AB^2=(4-(-3))^2+(1-4)^2=58\), \(AC^2=(4-(-3))^2+(7-4)^2=58\), \(BC^2=(4-4)^2+(7-1)^2=36\). Так как \(AB=AC\), треугольник равнобедренный. Ответ: а).
2. \(AB^2=(4-3)^2+(6-1)^2=26\), \(AC^2=(7-3)^2+(1-1)^2=16\), \(BC^2=(7-4)^2+(1-6)^2=34\). Все три квадрата длин различны, значит треугольник неравнобедренный. Ответ: б).
3. \(AB^2=(1-(-4))^2+(1-3)^2=29\), \(AC^2=(-4-(-4))^2+(4-3)^2=1\), \(BC^2=(-4-1)^2+(4-1)^2=34\). Все три квадрата длин различны, значит треугольник неравнобедренный. Ответ: б).
4. \(AB^2=(1-3)^2+(6-(-3))^2=85\), \(AC^2=(7-3)^2+(-1-(-3))^2=20\), \(BC^2=(7-1)^2+(-1-6)^2=85\). Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный. Ответ: а).
5. \(AB^2=(-6-(-2))^2+(-1-(-9))^2=80\), \(AC^2=(-10-(-2))^2+(-8-(-9))^2=65\), \(BC^2=(-10-(-6))^2+(-8-(-1))^2=65\). Так как \(AC=BC\), треугольник равнобедренный. Ответ: а).
6. \(AB^2=(0-(-2))^2+(0-(-5))^2=29\), \(AC^2=(7-(-2))^2+(-3-(-5))^2=85\), \(BC^2=(7-0)^2+(-3-0)^2=58\). Все три квадрата длин различны, значит треугольник неравнобедренный. Ответ: б).
7. \(AB^2=(1-0)^2+(7-2)^2=26\), \(AC^2=(-7-0)^2+(6-2)^2=65\), \(BC^2=(-7-1)^2+(6-7)^2=65\). Так как \(AC=BC\), треугольник равнобедренный. Ответ: а).