Задание 31. 1) Дано: α ∥ β, a ∥ b. Доказать: ABB₁A₁ — параллелограмм.

Точки A и B лежат в плоскости α, а точки A₁ и B₁ — в плоскости β. Прямые a и b пересекают обе плоскости: A = a ∩ α, A₁ = a ∩ β, B = b ∩ α, B₁ = b ∩ β.

1. Поскольку α ∥ β, их пересечения с третьей плоскостью, проходящей через параллельные прямые a и b, параллельны. Поэтому AB ∥ A₁B₁.
2. Так как a ∥ b, а плоскости α и β параллельны, отрезки параллельных прямых, заключённые между этими плоскостями, равны: AA₁ = BB₁.
3. Из условия a ∥ b следует AA₁ ∥ BB₁. Значит, в четырёхугольнике ABB₁A₁ одна пара противоположных сторон AA₁ и BB₁ параллельна и равна.

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то он является параллелограммом.

Ответ: ABB₁A₁ — параллелограмм.