Задание 31. 2) Дано: α ∥ β, a ∥ b. Доказать: AB = A₁B₁.

Рассмотрим плоскость γ, проходящую через параллельные прямые a и b. Она пересекает параллельные плоскости α и β по прямым AB и A₁B₁ соответственно.

1. По свойству параллельных плоскостей линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны: AB ∥ A₁B₁.
2. Так как a ∥ b, прямые AA₁ и BB₁ также параллельны.
3. Четырёхугольник ABB₁A₁ имеет обе пары противоположных сторон параллельными, поэтому он является параллелограммом.
4. У параллелограмма противоположные стороны равны, следовательно, AB = A₁B₁.

Ответ: AB = A₁B₁.