Задание 37. Найдите значение переменной n, при котором получается верное равенство.

Решение:

Для решения каждого пункта необходимо упростить левую часть уравнения, используя свойства степеней, и приравнять показатель степени к показателю степени в правой части.

1. \( (a^3)^5 \cdot a^{11} = a^{15} \cdot a^{11} = a^{15+11} = a^{26} \). Так как \( a^{26}
   e a^{11} \), то \( n \) не может быть найдено из этого уравнения. В условии есть \( n=5 \), но оно не связано с уравнением.
2. \( (a^6)^{10} \cdot a^n = a^{60} \cdot a^n = a^{60+n} \). Приравниваем показатели: \( 60 + n = 65 \) \( \Rightarrow n = 65 - 60 \) \( \Rightarrow n = 5 \).
3. \( (a^5)^n \cdot a^4 = a^{5n} \cdot a^4 = a^{5n+4} \). Приравниваем показатели: \( 5n + 4 = 29 \) \( \Rightarrow 5n = 29 - 4 \) \( \Rightarrow 5n = 25 \) \( \Rightarrow n = 5 \).
4. \( (a^n)^8 \cdot a^{40} = a^{8n} \cdot a^{40} = a^{8n+40} \). Приравниваем показатели: \( 8n + 40 = 64 \) \( \Rightarrow 8n = 64 - 40 \) \( \Rightarrow 8n = 24 \) \( \Rightarrow n = 3 \).
5. \( a^n \cdot \frac{a^{10}}{a^2} = a^n \cdot a^{10-2} = a^n \cdot a^8 = a^{n+8} \). Приравниваем показатели: \( n + 8 = 20 \) \( \Rightarrow n = 20 - 8 \) \( \Rightarrow n = 12 \).
6. \( a^8 \cdot \frac{a^{20}}{a^n} = a^8 \cdot a^{20-n} = a^{8+20-n} = a^{28-n} \). Приравниваем показатели: \( 28 - n = 18 \) \( \Rightarrow n = 28 - 18 \) \( \Rightarrow n = 10 \).
7. \( (a^3)^4 \cdot \frac{a^n}{a^5} = a^{12} \cdot a^{n-5} = a^{12+n-5} = a^{7+n} \). Приравниваем показатели: \( 7 + n = 15 \) \( \Rightarrow n = 15 - 7 \) \( \Rightarrow n = 8 \).
8. \( (a^n)^2 \cdot (a^4)^5 = a^{2n} \cdot a^{20} = a^{2n+20} \). Приравниваем показатели: \( 2n + 20 = 30 \) \( \Rightarrow 2n = 30 - 20 \) \( \Rightarrow 2n = 10 \) \( \Rightarrow n = 5 \).
9. \( (a^6)^2 \cdot (a^n)^5 = a^{12} \cdot a^{5n} = a^{12+5n} \). Приравниваем показатели: \( 12 + 5n = 27 \) \( \Rightarrow 5n = 27 - 12 \) \( \Rightarrow 5n = 15 \) \( \Rightarrow n = 3 \).
10. \( \frac{(a^{12})^3}{a^n} = \frac{a^{36}}{a^n} = a^{36-n} \). Приравниваем показатели: \( 36 - n = 27 \) \( \Rightarrow n = 36 - 27 \) \( \Rightarrow n = 9 \).
11. \( \frac{(a^n)^4}{a^8} = \frac{a^{4n}}{a^8} = a^{4n-8} \). Приравниваем показатели: \( 4n - 8 = 16 \) \( \Rightarrow 4n = 16 + 8 \) \( \Rightarrow 4n = 24 \) \( \Rightarrow n = 6 \).
12. \( \frac{(a^9)^4}{a^{2n}} = \frac{a^{36}}{a^{2n}} = a^{36-2n} \). Приравниваем показатели: \( 36 - 2n = 24 \) \( \Rightarrow 2n = 36 - 24 \) \( \Rightarrow 2n = 12 \) \( \Rightarrow n = 6 \).
13. \( \frac{(a^5)^3 \cdot a^5}{a^{2n}} = \frac{a^{15} \cdot a^5}{a^{2n}} = \frac{a^{15+5}}{a^{2n}} = \frac{a^{20}}{a^{2n}} = a^{20-2n} \). Приравниваем показатели: \( 20 - 2n = 16 \) \( \Rightarrow 2n = 20 - 16 \) \( \Rightarrow 2n = 4 \) \( \Rightarrow n = 2 \).
14. \( a^{2n} : (a^5)^2 = a^{2n} : a^{10} = a^{2n-10} \). Приравниваем показатели: \( 2n - 10 = 10 \) \( \Rightarrow 2n = 10 + 10 \) \( \Rightarrow 2n = 20 \) \( \Rightarrow n = 10 \).
15. \( \frac{(a^3)^3}{a^{3n}} = \frac{a^9}{a^{3n}} = a^{9-3n} \). Приравниваем показатели: \( 9 - 3n = 1 \) \( \Rightarrow 3n = 9 - 1 \) \( \Rightarrow 3n = 8 \) \( \Rightarrow n = \frac{8}{3} \).
16. \( a^{9n} : (a^3)^3 = a^{9n} : a^9 = a^{9n-9} \). Приравниваем показатели: \( 9n - 9 = 36 \) \( \Rightarrow 9n = 36 + 9 \) \( \Rightarrow 9n = 45 \) \( \Rightarrow n = 5 \).
17. \( \frac{a^{2n}}{a^7} = a^{2n-7} \). Приравниваем показатели: \( 2n - 7 = 1 \) \( \Rightarrow 2n = 1 + 7 \) \( \Rightarrow 2n = 8 \) \( \Rightarrow n = 4 \).
18. \( \frac{(a^{5n} \cdot a^2)}{a^3} = \frac{a^{5n+2}}{a^3} = a^{5n+2-3} = a^{5n-1} \). Приравниваем показатели: \( 5n - 1 = 4 \) \( \Rightarrow 5n = 4 + 1 \) \( \Rightarrow 5n = 5 \) \( \Rightarrow n = 1 \).
19. \( \frac{(a^{20} \cdot a^4)}{(a^2)^2} = \frac{a^{20+4}}{a^4} = \frac{a^{24}}{a^4} = a^{24-4} = a^{20} \). Так как \( a^{20}
    e a^{12} \), то \( n \) не может быть найдено из этого уравнения.
20. \( \frac{(a^4)^3 \cdot (a^5)^2}{(a^3)^{2n}} = \frac{a^{12} \cdot a^{10}}{a^{6n}} = \frac{a^{12+10}}{a^{6n}} = \frac{a^{22}}{a^{6n}} = a^{22-6n} \). Приравниваем показатели: \( 22 - 6n = 4 \) \( \Rightarrow 6n = 22 - 4 \) \( \Rightarrow 6n = 18 \) \( \Rightarrow n = 3 \).

Ответ: 2) n=5; 3) n=5; 4) n=3; 5) n=12; 6) n=10; 7) n=8; 8) n=5; 9) n=3; 10) n=9; 11) n=6; 12) n=6; 13) n=2; 14) n=10; 15) n=8/3; 16) n=5; 17) n=4; 18) n=1; 20) n=3.