Задание 38. Найдите наибольшее значение функции: 1) $y=20 g x-20x+5\pi-6$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$; 2) $y=36 g x-36x+9\pi-11$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$; 3) $y=- g x+2x-0.5\pi+10$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]$; 4) $y=-3 g x+6x-1.5\pi+12$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]$.

Question

$Фото задания: Задание 38. Найдите наибольшее значение функции: 1) $y=20 g x-20x+5\pi-6$ на отрезке…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем производную: $( g x)'=\frac{1}{\cos^2x}$.

$y'=20\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)=20 g^2x\ge 0$. Функция возрастает, поэтому максимум достигается при $x=\frac\pi4$: \[y_{\max}=20-5\pi+5\pi-6=14.\]
$y'=36\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)=36 g^2x\ge0$. Поэтому \[y_{\max}=36-9\pi+9\pi-11=25.\]
$y'=2-\frac1{\cos^2x}=- g^2x+1$. Критические точки: $x=\pm\frac\pi4$. Наибольшее значение достигается при $x=\frac\pi4$: \[y_{\max}=-1+\frac\pi2-\frac\pi2+10=9.\]
$y'=6-\frac3{\cos^2x}=3(2-\sec^2x)$. Критические точки: $ g^2x=1$, то есть $x=\pm\frac\pi4$. Проверяем значения: \[y\left(-\frac\pi4\right)=3-\frac\pi2+\frac{3\pi}2+12=15+\pi,\quad y\left(\frac\pi4\right)=-3+\frac\pi2+\frac{3\pi}2+12=9+2\pi.\] Так как $15+\pi>9+2\pi$, максимум равен $15+\pi$.

Ответ: 1) 14; 2) 25; 3) 9; 4) $15+\pi$.