Задание 3 Дано: MN = 10 мм; <MNK = 60°. Найти: NK = ? мм.

Решение:

Угол \( \angle MNK \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( MK \). Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга \( MK \) равна:

\[ \text{arc} MK = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \]

Центральный угол \( \angle MOK \) равен величине дуги \( MK \), на которую он опирается. Таким образом:

\[ \angle MOK = \text{arc} MK = 120^{\circ} \]

Треугольник \( \triangle MOK \) является равнобедренным, так как \( OM = OK \) (радиусы окружности). В равнобедренном треугольнике проведем высоту \( OH \) к основанию \( MK \). Эта высота является также медианой и биссектрисой. Она делит угол \( \angle MOK \) пополам и основание \( MK \) пополам.

\[ \angle MOH = \frac{\angle MOK}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \]

В прямоугольном треугольнике \( \triangle MOH \) мы знаем гипотенузу \( OM = 10 \text{ мм} \) и угол \( \angle MOH = 60^{\circ} \). Нам нужно найти \( MH \), которое составляет половину \( MK \).

Используем синус угла:

\[ \sin(\angle MOH) = \frac{MH}{OM} \]

\[ MH = OM \cdot \sin(\angle MOH) = 10 \text{ мм} \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \text{ мм} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ мм} \]

Так как \( MH \) - половина \( MK \), то:

\[ MK = 2 \cdot MH = 2 \cdot 5\sqrt{3} \text{ мм} = 10\sqrt{3} \text{ мм} \]

Примечание: В условии опечатка, скорее всего, спрашивается найти длину хорды MK, а не NK, так как есть данные для расчета MK.

Если все же нужно найти NK, то данных недостаточно, так как положение точки K на окружности произвольно и не связано с данными

Предположим, что в условии задания имелась в виду длина хорды MK, а не NK. В этом случае, решение будет следующим:

Ответ: MK = 10\(\sqrt{3}\) мм.