Задание 3 Найти косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD Исходные данные: Даны точки A(6,3,3), B(-1,0,-2), C(3,1,1), D(0,4,5) Решение: cos AB, BC = (-7*(-1)+4*0+(-3)*(-2))/(√83*√26) = (7+0+6)/√2158 = 13/√2158 cos BC, CD = (4*(-3)+1*1+(-3)*4)/(√26*√34) = (-12+1-12)/√884 = -23/√884 Координаты векторов: AB=(-7;-3;-5) BC=(4;1;3) CD=(-3;3;4) Для самостоятельного решения: Найти длины векторов AB и BC, BC и CD Даны точки A(3;-2; 1), B(4; 2; 1), C(-1;-1; 1), D (3; 0;1)

Решение:

1. Найдем координаты векторов:
   • \( \vec{AB} = B - A = (-1-6; 0-3; -2-3) = (-7; -3; -5) \)
   • \( \vec{BC} = C - B = (3-(-1); 1-0; 1-(-2)) = (4; 1; 3) \)
   • \( \vec{CD} = D - C = (0-3; 4-1; 5-1) = (-3; 3; 4) \)
2. Вычислим скалярное произведение для углов:
   • \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-7)(4) + (-3)(1) + (-5)(3) = -28 - 3 - 15 = -46 \)
   • \( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = (4)(-3) + (1)(3) + (3)(4) = -12 + 3 + 12 = 3 \)
3. Найдем длины векторов:
   • \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83} \)
   • \( |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26} \)
   • \( |\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \)
4. Вычислим косинусы углов:
   • \( \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{BC})) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-46}{\sqrt{83} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-46}{\sqrt{2158}} \)
   • \( \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{CD})) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{CD}}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{884}} \)

Ответ: \( \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{BC})) = \frac{-46}{\sqrt{2158}} \), \( \cos(\angle(\vec{BC}, \vec{CD})) = \frac{3}{\sqrt{884}} \).