Задание 3 Найти сумму решений системы: x1 + 2x2 - x3 = 3 -x1 - x2 + 2x3 = -2 2x1 + 2x2 + x3 = 4

Решение:

Для нахождения суммы решений системы уравнений, сначала решим саму систему. Используем метод Гаусса.

1. Запишем систему в матричном виде:
   \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
2. Приведём матрицу к ступенчатому виду:
• Прибавим первую строку ко второй: \( R_2 \leftarrow R_2 + R_1 \)
• Вычтем удвоенную первую строку из третьей: \( R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \)

Новая система:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2
- 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -8
\end{pmatrix} \]

3. Прибавим вторую строку, умноженную на 2, к третьей: \( R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 \)

Новая система:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -8 + 2 \cdot 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6
\end{pmatrix} \]

4. Решим полученную систему обратным ходом:
• Из третьей строки: \( 5x_3 = -6 \Rightarrow x_3 = -\frac{6}{5} = -1.2 \)
• Из второй строки: \( x_2 + x_3 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 - x_3 = 1 - (-\frac{6}{5}) = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5} = 2.2 \)
• Из первой строки: \( x_1 + 2x_2 - x_3 = 3 \Rightarrow x_1 = 3 - 2x_2 + x_3 = 3 - 2(\frac{11}{5}) + (-\frac{6}{5}) = 3 - \frac{22}{5} - \frac{6}{5} = \frac{15 - 22 - 6}{5} = \frac{-13}{5} = -2.6 \)
5. Найдём сумму решений: \( x_1 + x_2 + x_3 \)

\( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{13}{5} + \frac{11}{5} - \frac{6}{5} = \frac{-13 + 11 - 6}{5} = \frac{-8}{5} = -1.6 \)

Ответ: -1.6