ЗАДАНИЕ №3 Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задача №3: Скорость лодки

Дано:

• Расстояние между А и В: 140 км
• Скорость течения реки: 3 км/ч
• Плот плыл до того, как лодка отправилась: 1 час
• К моменту возвращения лодки в А, плот проплыл: 51 км

Решение:

1. Скорость плота: Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 3 км/ч.
2. Время движения плота: За время, пока лодка плыла до В и обратно, плот проплыл 51 км. Так как скорость плота 3 км/ч, время его движения составило: \[ t_{\text{плот}} = \frac{51 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 17 \text{ часов} \]
3. Время движения лодки: Лодка отправилась через 1 час после плота. Общее время движения плота — 17 часов. Значит, лодка была в пути: \[ t_{\text{лодка}} = t_{\text{плот}} - 1 \text{ час} = 17 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 16 \text{ часов} \]
4. Скорость лодки по течению (V_по): Скорость лодки по течению равна скорости лодки в неподвижной воде (V_лод) плюс скорость течения реки (V_тек): \[ V_{\text{по}} = V_{\text{лод}} + V_{\text{тек}} = V_{\text{лод}} + 3 \text{ км/ч} \]
5. Скорость лодки против течения (V_против): Скорость лодки против течения равна скорости лодки в неподвижной воде (V_лод) минус скорость течения реки (V_тек): \[ V_{\text{против}} = V_{\text{лод}} - V_{\text{тек}} = V_{\text{лод}} - 3 \text{ км/ч} \]
6. Время движения лодки по течению (t_по): \[ t_{\text{по}} = \frac{140 \text{ км}}{V_{\text{лод}} + 3 \text{ км/ч}} \]
7. Время движения лодки против течения (t_против): \[ t_{\text{против}} = \frac{140 \text{ км}}{V_{\text{лод}} - 3 \text{ км/ч}} \]
8. Общее время движения лодки: Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения: \[ t_{\text{лодка}} = t_{\text{по}} + t_{\text{против}} \] \[ 16 = \frac{140}{V_{\text{лод}} + 3} + \frac{140}{V_{\text{лод}} - 3} \]
9. Решаем уравнение: Разделим обе части на 140: \[ \frac{16}{140} = \frac{1}{V_{\text{лод}} + 3} + \frac{1}{V_{\text{лод}} - 3} \] \[ \frac{4}{35} = \frac{(V_{\text{лод}} - 3) + (V_{\text{лод}} + 3)}{(V_{\text{лод}} + 3)(V_{\text{лод}} - 3)} \] \[ \frac{4}{35} = \frac{2V_{\text{лод}}}{V_{\text{лод}}^2 - 9} \] \[ 4(V_{\text{лод}}^2 - 9) = 70V_{\text{лод}} \] \[ 4V_{\text{лод}}^2 - 36 = 70V_{\text{лод}} \] \[ 4V_{\text{лод}}^2 - 70V_{\text{лод}} - 36 = 0 \] \[ 2V_{\text{лод}}^2 - 35V_{\text{лод}} - 18 = 0 \]
10. Находим корни квадратного уравнения: \[ V_{\text{лод}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ V_{\text{лод}} = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(2)(-18)}}{2(2)} \] \[ V_{\text{лод}} = \frac{35 \pm \sqrt{1225 + 144}}{4} \] \[ V_{\text{лод}} = \frac{35 \pm \sqrt{1369}}{4} \] \[ V_{\text{лод}} = \frac{35 \pm 37}{4} \]
11. Выбираем положительный корень: \[ V_{\text{лод}} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18 \] \[ V_{\text{лод}} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \] (Скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 18 км/ч