Задание 4. 1. Сколько существует способов выбрать капитана и его заместителя из 10 игроков команды? 2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры не повторяются)? Задание 5. В магазине продаются 5 видов мороженого по следующим ценам: 100, 120, 150, 180 и 200 рублей. Составьте закон распределения случайной величины Х - цены мороженого. Задание 6. Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

Задание 4

1. Решение:

   Для выбора капитана у нас есть 10 вариантов. После выбора капитана, для выбора его заместителя остается 9 игроков. Таким образом, общее количество способов выбрать капитана и его заместителя равно произведению количества вариантов на каждом шаге.

   Используем формулу для числа размещений без повторений, так как порядок выбора важен (капитан и заместитель — разные роли):

   \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

   Где $$n$$ — общее количество игроков (10), а $$k$$ — количество выбираемых должностей (2).

   \[ A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90 \]

   Ответ: 90 способов.

2. Решение:

   Нам нужно составить трехзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений. Это задача на размещения, так как порядок цифр важен (например, 123 и 132 — разные числа).

   У нас есть 4 цифры, и нам нужно выбрать 3 из них и расположить в определенном порядке.

   Используем формулу для числа размещений без повторений:

   \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

   Где $$n$$ — количество доступных цифр (4), а $$k$$ — количество цифр в числе (3).

   \[ A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24 \]

   Ответ: 24 числа.

Задание 5

Решение:

Закон распределения случайной величины Х представляет собой таблицу, в которой указаны возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

В данном случае, случайная величина Х — это цена мороженого. Возможные значения Х:

$$ X \to \{100, 120, 150, 180, 200\}$$

Всего 5 видов мороженого, и каждое имеет свою цену. Предполагается, что выбор каждого вида мороженого равновероятен.

Вероятность каждого значения будет равна 1/5, так как всего 5 равновероятных исходов.

$$ P(X=x) = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ для каждого } x \in \{100, 120, 150, 180, 200\}$$

Закон распределения случайной величины Х:

Задание 6

Решение:

Математическое ожидание случайной величины Х рассчитывается по формуле:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) \]

Используя закон распределения из Задания 5:

\[ E(X) = (100 \times 0.2) + (120 \times 0.2) + (150 \times 0.2) + (180 \times 0.2) + (200 \times 0.2) \]

Вынесем общий множитель 0.2:

\[ E(X) = 0.2 \times (100 + 120 + 150 + 180 + 200) \]

\[ E(X) = 0.2 \times (750) \]

\[ E(X) = 150 \]

Ответ: Математическое ожидание случайной величины Х равно 150 рублей.