Задание 4 (18 баллов). Две стороны треугольника равны 8 см и 15 см, а радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 10 см. Найдите высоту, проведённую к третьей стороне.

Обозначим третью сторону через \(c\), а высоту к ней — через \(h\). Площадь треугольника можно выразить через стороны и радиус описанной окружности:

\[S=\frac{abc}{4R}.\]

С другой стороны, площадь равна \(S=\frac{ch}{2}\). Приравняем выражения и сократим на \(c\):

\[\frac{ch}{2}=\frac{abc}{4R},\qquad h=\frac{ab}{2R}.\]

Подставим известные значения:

\[h=\frac{8\cdot15}{2\cdot10}=\frac{120}{20}=6\text{ см}.\]

Ответ: 6 см.