Задание 4 (28). Пятиугольная пирамида. M ∈ BS, BM:MS = 4:1; N ∈ DS, DN:NS = 2:1; P ∈ AS, AP:PS = 1:2. Постройте сечение плоскостью MNP методом следов. Начало: T = MN ∩ BD; U = MP ∩ BA; след основания t = TU. Контур и обоснование.

Проведём след плоскости сечения в основании: t = TU, где T = MN ∩ BD, U = MP ∩ BA. BD — диагональ основания, поэтому T не обязательно лежит на его границе.

1. На грани SBD прямая MN задаёт сторону сечения; на основании она пересекает BD в точке T.
2. На грани SBA прямая MP задаёт сторону сечения; она пересекает BA в точке U.
3. На основании продолжим TU до пересечения с границей пятиугольника. Полученные точки — пересечения плоскости сечения с рёбрами основания.
4. Через найденные точки на каждой боковой грани проведём прямую сечения. В частности, на гранях SCD и SDE используем соответственно точки N и пересечения следа с рёбрами этих граней; на грани SAE используем P и пересечение следа с AE.
5. Отметим пересечения построенных прямых с рёбрами пирамиды и последовательно соединим точки, лежащие на одной грани. Полученный замкнутый контур и есть сечение.

Обоснование: след плоскости сечения в основании проходит через T и U. На каждой боковой грани сечение является прямой; её положение определяется двумя известными точками этой грани либо точкой на ребре и пересечением со следом основания. Схема условная и показывает способ построения, а не точный масштаб.

Ответ: след основания — прямая TU; сечение получают последовательным построением её пересечений с гранями и рёбрами пирамиды, затем соединяют точки по граням в замкнутый контур.