Задание 4. ABCD A₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. AB = 3, AD = 4, B₁D = 13. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно знать длину, ширину и высоту. В данном случае, у нас есть длина AB = 3 и ширина AD = 4. Высоту параллелепипеда (AA₁) можно найти, используя диагональ B₁D и диагональ основания BD.

1. Находим диагональ основания BD:
   В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора:
   • \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]
   • \[ BD^2 = 3^2 + 4^2 \]
   • \[ BD^2 = 9 + 16 \]
   • \[ BD^2 = 25 \]
   • \[ BD = \sqrt{25} = 5 \]
2. Находим высоту AA₁:
   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник B₁BD. Диагональ B₁D является гипотенузой, BD – один из катетов, а высота BB₁ (равная AA₁) – другой катет.
   По теореме Пифагора:
   • \[ B_1D^2 = BD^2 + BB_1^2 \]
   • \[ 13^2 = 5^2 + BB_1^2 \]
   • \[ 169 = 25 + BB_1^2 \]
   • \[ BB_1^2 = 169 - 25 \]
   • \[ BB_1^2 = 144 \]
   • \[ BB_1 = \sqrt{144} = 12 \]
   Следовательно, высота параллелепипеда AA₁ = 12.
3. Находим объем параллелепипеда:
   Объем равен произведению длины, ширины и высоты.
   • \[ V = AB \times AD \times AA_1 \]
   • \[ V = 3 \times 4 \times 12 \]
   • \[ V = 12 \times 12 \]
   • \[ V = 144 \]

Ответ: 144