Задание № 4. Баржа прошла по течению реки 51 км и, повернув обратно, прошла ещё 36 км, затратив на весь путь 7 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть v км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость по течению равна v + 4, а против течения — v − 4. Поскольку баржа двигалась против течения, v > 4.

Составим уравнение по формуле «время = расстояние ÷ скорость»:

\(\dfrac{51}{v+4}+\dfrac{36}{v-4}=7\).

Умножим обе части на \((v+4)(v-4)\):

\(51(v-4)+36(v+4)=7(v^2-16)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

\(87v-60=7v^2-112\),
\(7v^2-87v-52=0\).

Найдём корни: \(D=(-87)^2-4\cdot7\cdot(-52)=9025=95^2\).

\(v=\dfrac{87\pm95}{14}\), поэтому \(v=13\) или \(v=-\dfrac{4}{7}\). Отрицательная скорость не подходит; значение 13 удовлетворяет условию \(v>4\).

Ответ: 13 км/ч.