Задание 4. Дан △ABC, в котором сторона AB равна 10, сторона AC равна 16, а медиана AM равна 5. Найди площадь △ABC.

Так как AM — медиана, M — середина BC. Обозначим BM = CM = x.

Применим теорему Аполлония для медианы AM:

AB² + AC² = 2(AM² + BM²).

10² + 16² = 2(5² + x²), поэтому 356 = 50 + 2x², откуда x² = 153. Значит, BC = 2x = 2√153 = 6√17.

Площадь найдём по формуле Герона. Полупериметр p = (10 + 16 + 6√17)/2 = 13 + 3√17.

S² = p(p − 10)(p − 16)(p − 6√17) = (13 + 3√17)(3 + 3√17)(−3 + 3√17)(13 − 3√17) = 2520.

Следовательно, S = √2520 = 6√70.

Ответ: 6√70.