Задание 4. Даны две функции, не строя графика, найдите координаты точки их пересечения.

Решение:

Чтобы найти координаты точки пересечения двух функций, нужно приравнять их выражения и решить полученное уравнение относительно \( x \). Затем подставить найденное значение \( x \) в любое из уравнений функций, чтобы найти \( y \).

1) \( f(x) = 2x; \quad g(x) = x^2 \)

• Приравниваем: \( 2x = x^2 \)
• Переносим всё в одну сторону: \( x^2 - 2x = 0 \)
• Выносим \( x \) за скобки: \( x(x - 2) = 0 \)
• Находим корни: \( x_1 = 0 \) или \( x - 2 = 0 Rightarrow x_2 = 2 \)
• Находим \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x_1 = 0 \), то \( y = 2 \times 0 = 0 \). Точка: \( (0; 0) \).
• Если \( x_2 = 2 \), то \( y = 2 \times 2 = 4 \). Точка: \( (2; 4) \).

2) \( f(x) = 4; \quad g(x) = x^2 \)

• Приравниваем: \( 4 = x^2 \)
• Находим корни: \( x = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \)
• Находим \( y \): \( y = 4 \) (так как \( f(x) = 4 \) постоянно).
• Точки: \( (2; 4) \) и \( (-2; 4) \).

3) \( f(x) = x + 2; \quad g(x) = x^2 \)

• Приравниваем: \( x + 2 = x^2 \)
• Переносим всё в одну сторону: \( x^2 - x - 2 = 0 \)
• Решаем квадратное уравнение (дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)):
• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)
• Находим \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x_1 = 2 \), то \( y = 2^2 = 4 \). Точка: \( (2; 4) \).
• Если \( x_2 = -1 \), то \( y = (-1)^2 = 1 \). Точка: \( (-1; 1) \).

4) \( f(x) = -x; \quad g(x) = x^2 \)

• Приравниваем: \( -x = x^2 \)
• Переносим всё в одну сторону: \( x^2 + x = 0 \)
• Выносим \( x \) за скобки: \( x(x + 1) = 0 \)
• Находим корни: \( x_1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 Rightarrow x_2 = -1 \)
• Находим \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x_1 = 0 \), то \( y = -(0) = 0 \). Точка: \( (0; 0) \).
• Если \( x_2 = -1 \), то \( y = -(-1) = 1 \). Точка: \( (-1; 1) \).

5) \( f(x) = 2x + 3; \quad g(x) = x^2 \)

• Приравниваем: \( 2x + 3 = x^2 \)
• Переносим всё в одну сторону: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
• Решаем квадратное уравнение (дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)):
• \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
• Находим \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x_1 = 3 \), то \( y = 3^2 = 9 \). Точка: \( (3; 9) \).
• Если \( x_2 = -1 \), то \( y = (-1)^2 = 1 \). Точка: \( (-1; 1) \).

6) \( f(x) = 6 - x; \quad g(x) = x^2 \)

• Приравниваем: \( 6 - x = x^2 \)
• Переносим всё в одну сторону: \( x^2 + x - 6 = 0 \)
• Решаем квадратное уравнение (дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)):
• \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)
• Находим \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x_1 = 2 \), то \( y = 2^2 = 4 \). Точка: \( (2; 4) \).
• Если \( x_2 = -3 \), то \( y = (-3)^2 = 9 \). Точка: \( (-3; 9) \).

Ответ:

• 1) \( (0; 0) \) и \( (2; 4) \)
• 2) \( (2; 4) \) и \( (-2; 4) \)
• 3) \( (2; 4) \) и \( (-1; 1) \)
• 4) \( (0; 0) \) и \( (-1; 1) \)
• 5) \( (3; 9) \) и \( (-1; 1) \)
• 6) \( (2; 4) \) и \( (-3; 9) \)