Задание 4. Даны координаты точек: P(−5; 2), T(−3; 5), R(3; 1), S(1; −2). Докажите, что четырёхугольник PTRS является прямоугольником (15 баллов). Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов). Найдите площадь прямоугольника (10 баллов).

1. Найдём векторы сторон:

   \(\overrightarrow{PT}=(-3+5;\,5-2)=(2;3)\), \(\overrightarrow{TR}=(3+3;\,1-5)=(6;-4)\), \(\overrightarrow{RS}=(1-3;\,-2-1)=(-2;-3)\), \(\overrightarrow{SP}=(-5-1;\,2+2)=(-6;4)\).

   Получаем \(\overrightarrow{RS}=-\overrightarrow{PT}\) и \(\overrightarrow{SP}=-\overrightarrow{TR}\), поэтому противоположные стороны попарно параллельны. Кроме того, \(\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{TR}=2\cdot6+3\cdot(-4)=0\), значит, соседние стороны перпендикулярны. Следовательно, \(PTRS\) — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

2. Диагонали задаются векторами \(\overrightarrow{PR}=(3+5;\,1-2)=(8;-1)\) и \(\overrightarrow{TS}=(1+3;\,-2-5)=(4;-7)\). Их длины равны: \(|PR|=\sqrt{8^2+(-1)^2}=\sqrt{65}\), \(|TS|=\sqrt{4^2+(-7)^2}=\sqrt{65}\). Косинус острого угла между диагоналями равен \(\frac{|\overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{TS}|}{|PR|\,|TS|}=\frac{|8\cdot4+(-1)(-7)|}{65}=\frac{39}{65}=\frac35\).

3. Длины соседних сторон: \(|PT|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\), \(|TR|=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: \(S=\sqrt{13}\cdot2\sqrt{13}=26\).

Ответ: PTRS — прямоугольник; косинус острого угла между диагоналями равен \(\frac35\); площадь равна 26.