Задание 4. Доказательство с биссектрисой. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD (точка D лежит на BC). Известно, что ∠B = ∠C. Докажи, что ΔABD = ΔACD. Подсказка: AD — общая сторона; ∠BAD = ∠CAD, так как AD — биссектриса; ∠B = ∠C по условию. Проверь, прилегают ли эти углы к стороне AD.

Углы ∠B и ∠C не прилегают к стороне AD, поэтому для применения признака равенства по стороне и двум прилежащим углам найдём равенство углов при D.

1. AD — общая сторона треугольников ABD и ACD.
2. ∠BAD = ∠CAD, поскольку AD — биссектриса угла A.
3. Так как D лежит на BC, ∠ABD = ∠B и ∠ACD = ∠C. По условию ∠B = ∠C, значит, ∠ABD = ∠ACD.
4. По сумме углов треугольника:
   ∠ADB = 180° − ∠BAD − ∠ABD;
   ∠CDA = 180° − ∠CAD − ∠ACD.
   Соответствующие углы вычитаются из равных величин, поэтому ∠ADB = ∠CDA.
5. Сторона AD и два прилежащих к ней угла равны соответственно, следовательно, ΔABD = ΔACD по первому признаку равенства треугольников.