Задание 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе: a) 9 / \(\sqrt[3]{3}\); б) 3(a-b) / (\(\sqrt{a}\) - \(\sqrt{b}\))

Решение:

Задание 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе

а) \( \frac{9}{\sqrt[3]{3}} \)

1. Чтобы избавиться от кубического корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} \).
2. \( \frac{9}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{9 \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}} = \frac{9 \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{9 \cdot \sqrt[3]{9}}{3} \)
3. Сократим дробь: \( 3 \cdot \sqrt[3]{9} \)

б) \( \frac{3(a-b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \)

1. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
2. \( \frac{3(a-b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{3(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{3(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} \)
3. Сократим \( (a-b) \) в числителе и знаменателе (при условии \( a \neq b \) и \( a,b \ge 0 \)).
4. Получим: \( 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \)

Ответ: а) \( 3\sqrt[3]{9} \); б) \( 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \)