Задание 4. Избавиться от иррациональности a) \(\frac{9}{\sqrt[3]{3}}\) б) \(\frac{3(a-b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\)

Задание 4. Избавиться от иррациональности

1. а)
   

   Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе \(\sqrt[3]{3}\), нужно умножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы под корнем получился куб. Для \(\sqrt[3]{3}\) это \(\sqrt[3]{3^2}\), т.е. \(\sqrt[3]{9}\).

   
   

   \(\frac{9}{\sqrt[3]{3}} = \frac{9 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{9 \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{9 \cdot \sqrt[3]{9}}{3}\)

   
   

   Сокращаем 9 и 3:

   
   

   \( = 3 \sqrt[3]{9}\)

2. б)
   

   Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\), умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

   
   

   \(\frac{3(a-b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{3(a-b) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})}\)

   
   

   В знаменателе используем формулу разности квадратов \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\):

   
   

   \( = \frac{3(a-b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{3(a-b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}\)

   
   

   Сокращаем \((a-b)\) в числителе и знаменателе:

   
   

   \( = 3(\sqrt{a} + \sqrt{b})\)

Ответ: а) 3\(\sqrt[3]{9}\); б) 3(\(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\)).