Задание №4. К стороне BD треугольника ABD с прямым углом BAD проведён перпендикуляр CE. Известно, что AB = EC = 3, BD = 5, AD = 4, DE = 1. Найти длину отрезка BC.

Так как в прямоугольном треугольнике ABD стороны AB = 3, AD = 4 и BD = 5, можно расположить точки так: B = (0; 0), A = (0; 3), D = (4; 3). Тогда прямая BD имеет направление (4; 3).

Поскольку E лежит на BD и DE = 1, а BD = 5, точка E находится на расстоянии 1 от D в направлении B: E = (4; 3) − (4/5; 3/5) = (16/5; 12/5).

Перпендикуляр к BD имеет направление (3; −4). Его отрезок длины EC = 3 направлен от E вниз и вправо, поэтому C = E + (3/5)(3; −4) = (5; 0).

Точка B имеет координаты (0; 0), следовательно, BC = 5.

Ответ: 5.