Задание 4. (Л. Шастин). По каналу связи передаются сообщения, содержащие только пять букв: А, Б, В, Г и Д. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв А, Б, В, Г используются такие кодовые слова: А – 1010; Б – 1100; В – 0; Г – 111. Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Д, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наибольшим числовым значением. Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

Решение:

Чтобы код допускал однозначное декодирование, он должен удовлетворять условию Фано. Это значит, что ни одно кодовое слово не должно быть началом другого кодового слова.

Рассмотрим заданные кодовые слова:

• А — 1010
• Б — 1100
• В — 0
• Г — 111

Теперь определим, какие двоичные коды не могут быть использованы для буквы Д, чтобы не нарушить условие Фано:

• Коды, начинающиеся с '0' (например, 00, 01) не могут быть использованы, потому что '0' (код для В) уже является кодовым словом.
• Коды, начинающиеся с '111' (например, 1110, 1111) не могут быть использованы, потому что '111' (код для Г) уже является кодовым словом.
• Коды, начинающиеся с '1010' (например, 10100, 10101) не могут быть использованы, потому что '1010' (код для А) уже является кодовым словом.
• Коды, начинающиеся с '1100' (например, 11000, 11001) не могут быть использованы, потому что '1100' (код для Б) уже является кодовым словом.

Теперь найдем кратчайшие возможные кодовые слова для буквы Д, которые не нарушают условие Фано:

• 00 — Нарушает условие (начинается с '0').
• 01 — Нарушает условие (начинается с '0').
• 10 — Не нарушает условие (не является началом ни одного из заданных кодов, и ни один из заданных кодов не начинается с '10', кроме '1010', но '10' короче).
• 110 — Не нарушает условие.
• 1110 — Нарушает условие (начинается с '111').
• 1111 — Нарушает условие (начинается с '111').
• 10100 — Нарушает условие (начинается с '1010').

Возможные кратчайшие кодовые слова для буквы Д, которые не нарушают условие Фано, это 10 и 110.

По условию задачи, если таких кодов несколько, нужно указать код с наибольшим числовым значением. Между 10 (числовое значение 2) и 110 (числовое значение 6), наибольшим является 110.

Проверка:

• А – 1010
• Б – 1100
• В – 0
• Г – 111
• Д – 110

Проверим, не является ли одно слово началом другого:

• '0' не является началом '1010', '1100', '111', '110'.
• '1010' не является началом '1100', '111', '110'.
• '1100' не является началом '1010', '111', '110'.
• '111' не является началом '1010', '1100', '110'.
• '110' не является началом '1010', '1100', '111'.

Условие Фано выполняется.

Ответ: 110