ЗАДАНИЕ 4. На биссектрисе OC угла O отмечена точка D. Из точек C и D опущены перпендикуляры CA и DB на разные стороны угла. Докажите, что середина отрезка CD — точка K — равноудалена от точек A и B.

Пусть стороны угла — лучи OA и OB, а C лежит на стороне OB, D — на биссектрисе. По условию CA ⟂ OA и DB ⟂ OB.

1. Треугольники OAC и OBD прямоугольные: прямые углы находятся при A и B.
2. Так как OD — биссектриса угла, то ∠AOD = ∠DOB. Поскольку C лежит на OB, получаем ∠AOC = ∠DOB.
3. Следовательно, прямоугольные треугольники OAC и OBD подобны по двум углам. Соответствие вершин: O ↔ O, A ↔ B, C ↔ D.
4. Из подобия следует OA/OB = OC/OD, поэтому OA · OD = OB · OC.
5. Точки A, O, B лежат на одной прямой, а C, O, D — на другой. Из равенства произведений следует обратная теорема о пересекающихся хордах: окружность через A, C, B проходит также через D.
6. Так как CA ⟂ AB и DB ⟂ AB, углы CAB и DBA прямые. Значит, по теореме Фалеса CB и DA — диаметры этой окружности.
7. Диаметры одной окружности равны и пересекаются в её центре, поэтому их общая середина одна и та же. Середина CD — точка K; следовательно, K является центром окружности через A, C, B, D.
8. Радиусы этой окружности равны, поэтому KA = KB.

Ответ: точка K равноудалена от A и B.