Задание 4. На отдельном листе в тетради или листе формата А4 изобразите тупоугольный треугольник, обозначьте его. Синим карандашом проведите все три медианы в данном треугольнике, обозначьте их. Красным цветом постройте все высоты и обозначьте их. Зелёным цветом постройте все биссектрисы треугольника и обозначьте их. Запишите все элементы треугольника: вершины, стороны, углы, медианы, высоты, биссектрисы. Выпишите все пары равных отрезков, все пары равных углов.

Возьмём тупоугольный разносторонний треугольник ABC. Угол C тупой: скалярное произведение векторов CA и CB отрицательно, поскольку (−170)·220 + (−190)·(−150) = −8900 < 0.

Синим показаны медианы, красным — высоты, зелёным — биссектрисы. Точки A₁, B₁, C₁ — середины противоположных сторон; Hₐ, Hᵦ, H꜀ — основания высот; Dₐ, Dᵦ, D꜀ — точки пересечения биссектрис со сторонами. Высоты, падающие на продолжения сторон, также проведены.

Элементы треугольника:

• Вершины: A, B, C.
• Стороны: AB, BC, CA.
• Углы: ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB.
• Медианы: AA₁, BB₁, CC₁.
• Высоты: AHₐ, BHᵦ, CH꜀.
• Биссектрисы: ADₐ, BDᵦ, CD꜀.

Так как A₁, B₁ и C₁ — середины сторон, равны пары отрезков: BA₁ = A₁C; CB₁ = B₁A; AC₁ = C₁B.

По свойству биссектрис равны пары углов: ∠BADₐ = ∠DₐAC; ∠ABDᵦ = ∠DᵦBC; ∠ACD꜀ = ∠D꜀CB.

Все три высоты перпендикулярны прямым, содержащим противоположные стороны, поэтому равны также все пары прямых углов: ∠AHₐC = ∠BHᵦC; ∠AHₐC = ∠CH꜀A; ∠BHᵦC = ∠CH꜀A.