Задание № 4. На стороне AB треугольника ABC отметили точку L и соединили отрезком с вершиной C. Известны углы: ∠ABC = ∠ACL = 36° и ∠BAC = 72°. Длины отрезков BC и CL соответственно обозначим через a и l. Выразите в этих обозначениях периметр треугольника ABC.

Так как L лежит на AB, ∠CBL = ∠ABC = 36°. В треугольнике BCL углы при B и C равны, поэтому BL = CL = l.

В треугольнике ACL углы A и L равны 72°, а угол C равен 36°. По теореме синусов:

\(\dfrac{AL}{CL}=\dfrac{\sin 36^\circ}{\sin 72^\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\), следовательно, \(AL=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}l\).

Тогда \(AB=AL+LB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}l+l=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}l\). Также \(AC=CL=l\), поскольку в треугольнике ACL сторонам AC и CL противолежат равные углы.

Периметр: \(P_{ABC}=AB+BC+AC=a+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}l+l\).

Ответ: \(P_{ABC}=a+\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}l\).