Задание 4. Найди угол, зная периметр (повышенная сложность) В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) периметр равен 24 см. Гипотенуза АВ равна 10 см, a катет ВС равен 5 см. 1. Найди длину катета АС. 2. Против какого угла лежит катет ВС? 3. Чему равен этот угол? 4. Чему равен другой острый угол?

Решение:

• Дано:
  • Прямоугольный треугольник АВС
  • \[ \angle C = 90^{\circ} \]
  • Периметр (P) = 24 см
  • Гипотенуза АВ = 10 см
  • Катет ВС = 5 см
• 1. Нахождение длины катета АС: Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:
  • \[ P = AB + BC + AC \]
  • \[ 24 \text{ см} = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} + AC \]
  • \[ 24 \text{ см} = 15 \text{ см} + AC \]
  • \[ AC = 24 \text{ см} - 15 \text{ см} \]
  • \[ AC = 9 \text{ см} \]
• 2. Угол, против которого лежит катет ВС: Катет ВС лежит против угла А.
• 3. Нахождение угла А: В прямоугольном треугольнике мы можем использовать тригонометрические функции. Для угла А:
  • \[ \sin(A) = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]
  • \[ \sin(A) = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5 \]
  • \[ A = \arcsin(0.5) \]
  • \[ A = 30^{\circ} \]
• 4. Нахождение другого острого угла (угла В): Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°:
  • \[ A + B = 90^{\circ} \]
  • \[ 30^{\circ} + B = 90^{\circ} \]
  • \[ B = 90^{\circ} - 30^{\circ} \]
  • \[ B = 60^{\circ} \]

Ответ: 1. 9 см. 2. Угол А. 3. 30°. 4. 60°.