Задание 4. Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 6.

Обозначим третью сторону через \(c\), а половину этой стороны — через \(x=\frac{c}{2}\). Медиана делит треугольник на два треугольника с основаниями \(x\) и общей высотой \(h\), поэтому площадь исходного треугольника равна \(xh\).

Пусть проекция медианы на прямую основания равна \(u\). Тогда по теореме Пифагора:

\(u^2+h^2+x^2=27^2\),
\((u-2x)^2+h^2+x^2=29^2\) — эквивалентно удобнее записать расстояния от вершины до концов основания как \((u+x)^2+h^2=27^2\) и \((u-x)^2+h^2=29^2\).

Вычитая эти равенства, получаем \(4ux=29^2-27^2=112\), значит \(ux=28\). Складывая их, получаем \(u^2+x^2+h^2=785\). Так как длина медианы равна 6, \(u^2+h^2=36\), поэтому \(x^2=785-36=749\).

Тогда \(u^2=\frac{28^2}{749}=\frac{784}{749}\), а \(h^2=36-\frac{784}{749}=\frac{26180}{749}\). Следовательно, площадь:

\(S=xh=\sqrt{749}\sqrt{\frac{26180}{749}}=\sqrt{26180}=2\sqrt{6545}\approx161.8\).

Ответ: \(2\sqrt{6545}\) (примерно 161,8).