Задание 4. Найдите значение выражения \(\left(\frac{2}{x-2}-\frac{24}{x^3-8}-\frac{12}{x^2+2x+4}\right)\left(2x+\frac{8x+8}{x-2}\right)\) при \(x=2\sqrt6\).

Разложим разность кубов: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\).

Первую скобку приведём к общему знаменателю:

\(\frac{2(x^2+2x+4)-24-12(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}.\)

Упростим вторую скобку:

\(2x+\frac{8x+8}{x-2}=\frac{2x(x-2)+8x+8}{x-2}=\frac{2(x^2+2x+4)}{x-2}.\)

Тогда произведение равно \(\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\cdot\frac{2(x^2+2x+4)}{x-2}=4\). При \(x=2\sqrt6\) знаменатель не равен нулю.

Ответ: 4.