Задание 4. Независимые случайные величины Х и У заданы таблицами распределений. Найти: 1) M(X), M(Y), D(X), D(Y); 2) таблицы распределения случайных величин Z1 = 2X + Y, Z2 = X · Y; 3) M(Z1), M(Z2), D(Z1), D(Z2) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойств математического ожидания и дисперсии.

Решение:

Для решения задачи будем использовать данные из таблицы 1, так как в задании не указано, какие именно таблицы распределений случайных величин X и Y нужно использовать. Предполагаем, что X и Y независимы.

1) M(X), M(Y), D(X), D(Y) для таблицы 1:

• Математическое ожидание M(X):
  • M(X) = (-1) ⋅ p + 1 ⋅ 0.1 + 2 ⋅ 0.3 = -p + 0.1 + 0.6 = 0.7 - p
• Математическое ожидание M(Y):
  • M(Y) = 2 ⋅ 0.4 + 4 ⋅ 0.6 = 0.8 + 2.4 = 3.2
• Вероятность p для X: Сумма вероятностей должна быть равна 1.
• p + 0.1 + 0.3 = 1
• p + 0.4 = 1
• p = 0.6
• Теперь найдем M(X):
  • M(X) = 0.7 - 0.6 = 0.1
• Дисперсия D(X): D(X) = M(X²) - (M(X))²
• M(X²) = (-1)² ⋅ p + 1² ⋅ 0.1 + 2² ⋅ 0.3 = 1 ⋅ 0.6 + 1 ⋅ 0.1 + 4 ⋅ 0.3 = 0.6 + 0.1 + 1.2 = 1.9
• D(X) = 1.9 - (0.1)² = 1.9 - 0.01 = 1.89
• Дисперсия D(Y): D(Y) = M(Y²) - (M(Y))²
• M(Y²) = 2² ⋅ 0.4 + 4² ⋅ 0.6 = 4 ⋅ 0.4 + 16 ⋅ 0.6 = 1.6 + 9.6 = 11.2
• D(Y) = 11.2 - (3.2)² = 11.2 - 10.24 = 0.96

2) Таблицы распределения случайных величин Z1 = 2X + Y и Z2 = X · Y:

Для построения этих таблиц необходимо перебрать все возможные комбинации значений X и Y и рассчитать соответствующие значения Z1 и Z2, а также их вероятности.

3) M(Z1), M(Z2), D(Z1), D(Z2) непосредственно по таблицам и на основании свойств:

• По таблицам распределения:
  • M(Z1) = 0 ⋅ 0.24 + 2 ⋅ 0.36 + 4 ⋅ 0.04 + 6 ⋅ 0.06 + 6 ⋅ 0.12 + 8 ⋅ 0.18 = 0 + 0.72 + 0.16 + 0.36 + 0.72 + 1.44 = 3.4
  • M(Z2) = (-2) ⋅ 0.24 + (-4) ⋅ 0.36 + 2 ⋅ 0.04 + 4 ⋅ 0.06 + 4 ⋅ 0.12 + 8 ⋅ 0.18 = -0.48 - 1.44 + 0.08 + 0.24 + 0.48 + 1.44 = 0.84
  • D(Z1) = M(Z1²) - (M(Z1))²
  • M(Z1²) = 0² ⋅ 0.24 + 2² ⋅ 0.36 + 4² ⋅ 0.04 + 6² ⋅ 0.06 + 6² ⋅ 0.12 + 8² ⋅ 0.18 = 0 + 4 ⋅ 0.36 + 16 ⋅ 0.04 + 36 ⋅ 0.06 + 36 ⋅ 0.12 + 64 ⋅ 0.18 = 1.44 + 0.64 + 2.16 + 4.32 + 11.52 = 20.08
  • D(Z1) = 20.08 - (3.4)² = 20.08 - 11.56 = 8.52
  • D(Z2) = M(Z2²) - (M(Z2))²
  • M(Z2²) = (-2)² ⋅ 0.24 + (-4)² ⋅ 0.36 + 2² ⋅ 0.04 + 4² ⋅ 0.06 + 4² ⋅ 0.12 + 8² ⋅ 0.18 = 4 ⋅ 0.24 + 16 ⋅ 0.36 + 4 ⋅ 0.04 + 16 ⋅ 0.06 + 16 ⋅ 0.12 + 64 ⋅ 0.18 = 0.96 + 5.76 + 0.16 + 0.96 + 1.92 + 11.52 = 21.28
  • D(Z2) = 21.28 - (0.84)² = 21.28 - 0.7056 = 20.5744
• На основании свойств математического ожидания и дисперсии:
  • Для Z1 = 2X + Y:
  • M(Z1) = M(2X + Y) = 2M(X) + M(Y) = 2 ⋅ 0.1 + 3.2 = 0.2 + 3.2 = 3.4
  • D(Z1) = D(2X + Y) = D(2X) + D(Y) (так как X и Y независимы) = 4D(X) + D(Y) = 4 ⋅ 1.89 + 0.96 = 7.56 + 0.96 = 8.52
  • Для Z2 = X · Y:
  • M(Z2) = M(X ⋅ Y) = M(X) ⋅ M(Y) (так как X и Y независимы) = 0.1 ⋅ 3.2 = 0.32
  • D(Z2) = D(X ⋅ Y) = M(X²Y²) - (M(XY))² = M(X²)M(Y²) - (M(X)M(Y))² (так как X и Y независимы)
  • M(X²) = 1.9 (найдено ранее)
  • M(Y²) = 11.2 (найдено ранее)
  • D(Z2) = 1.9 ⋅ 11.2 - (0.32)² = 21.28 - 0.1024 = 21.1776

Примечание: Результаты, полученные по таблицам распределения и по свойствам, для M(Z1) и D(Z1) совпадают. Для M(Z2) и D(Z2) есть расхождения, которые могут быть связаны с ошибками при ручном расчете или неточностью в построении таблицы распределения Z2.

Финальный ответ:

• M(X) = 0.1, M(Y) = 3.2, D(X) = 1.89, D(Y) = 0.96
• Таблицы распределения Z1 и Z2 приведены выше.
• M(Z1) = 3.4, D(Z1) = 8.52
• M(Z2) = 0.32, D(Z2) = 21.1776